PLANO DE AULA
CONTEÚDO ESCOLHIDO PELO GRUPO: SEMELHANÇA DE POLÍGONOS
TEMA: condições de semelhança entre figuras planas
TEMPO
PREVISTO: 1 semana (06 aulas)
OBJETIVO: Mostrar
aos alunos do 9º ano do EF os conceitos básicos sobre semelhança entre figuras
planas e suas diversas aplicações.
JUSTIFICATIVA: Ajudar o aluno a construir,
desenvolver e aplicar ideias e conceitos sobre semelhança, sempre compreendendo
e atribuindo significados ao conteúdo, buscando relacionar a aplicação dos
conceitos à sua vida cotidiana.
Dessa forma, ao termino da atividade,
o aluno deverá ser capaz de:
·
Construir o conceito de semelhança;
·
Verificar a semelhança entrefiguras planas
através da comparação de suas medidas.
COMPETÊNCIAS E HABILIDADES: A
tarefa proposta visa contribuir para desenvolver nos alunos a linguagem e
pensamento geométrico, bem como a capacidade de avaliar a existência ou não de
semelhança entre duas figuras planas; avaliar elementos que se alteram quando
figuras planas são ampliadas ou reduzidas; identificar a razão de semelhança
entre duas figuras planas bem como se utilizar destes conhecimentos na exploração e modelação de situações em contextos
diversos.
RECURSOS MATERIAIS E
TECNOLÓGICOS:
·
Régua e compasso;
·
Papel milimetrado;
·
Papel A4
·
Recorte e colagens de figuras diversas
·
Malha quadriculada
·
Atividades de sites da internet.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 – SEMELHANÇA
ENTRE FIGURAS PLANAS
Inicialmente o professor poderá
verificar o conhecimento prévio dos alunos sobre o assunto aplicado explorando
as várias formas verificadas em seu cotidiano, poderá inclusive apresentar
algumas delas, como exemplo:
Pode-se explorar também alguns sites interessantes que traz
construção de figuras no concreto, textos sobre a história da geometria e suas
construções lúdicas, jogos interativos como quebra cabeça, dominó de figuras
reduzidas e ampliadas, enfim, até mesmo histórias em quadrinhos como a que
segue:
Cerca de
seiscentos anos antes de Cristo, no Egito, foi que se teve a primeira aplicação
da Semelhança de Triângulos. A pedido de um mensageiro do faraó, Tales de
Mileto - considerado um dos sete sábios da antiguidade clássica – calculou a
altura da pirâmide de Quéops. Para desenvolver tal cálculo, Tales fincou uma
vara verticalmente no chão e aguardou até o momento em que a sombra e a própria
vara tivessem a mesma medida. Quando o esperado ocorreu, Tales disse “Vá, mede
depressa a sombra: o seu comprimento é igual à altura da pirâmide”.
Para se
obter o valor exato da altura da pirâmide, Tales deveria ainda ter pedido que
se somasse metade do lado da base da pirâmide à sombra da mesma, uma vez que,
tendo uma base larga, uma parte da sombra da pirâmide não estava ao chão. Tales
imaginou os dois triângulos imaginários demonstrados abaixo para efetuar seu
cálculo.
Desse modo:
(retos) 
(ângulo de inclinação dos raios
solares).A conclusão que se chega é que os triângulos são semelhantes pelo caso AA.
ΔABC~ΔRST
Então, para achar o
valor da altura da pirâmide, fez-se a seguinte proporção
Com esse feito matemático, Tales ganhou
grande apreciação em sua época e ainda hoje, pelo mesmo motivo somado a outras
tantas contribuições, Tales é considerado um dos grandes nomes da matemática.
Aplicação de exercícios para verificar o
conhecimento prévio dos alunos:
Problema 1: Observe as casinhas desenhadas na malha quadriculada. Desenhe ao
lado, duas outras casinhas, de modo que, uma delas seja uma redução e a outra
uma ampliação das casinhas dadas no exercício:
Problema
2:
Observe nos desenhos que o retângulo (III) tem o triplo da largura de (I), o
retângulo (II) tem o dobro da largura de (I) e os três tem a mesma medida de
altura.
(I) (II) (III)
a) É
correto afirmar que os ângulos nos três retângulos são correspondentemente
congruentes? Porque?
b)
Podemos dizer que uma dessas figuras é redução ou ampliação da outra? Porque?
Dando continuidade ao trabalho, após discutir as
resoluções apresentadas pelos alunos, o professor poderá solicitar que
construam figuras semelhantes, em determinada razão, utilizando régua e
compasso, no processo conhecido por homotetia. Nesse caso, poderá propor que
sejam desenhadas e analisadas mais de uma situação em que o centro de homotetia
(ponto F) se apresenta em diferentes posições em relação às figuras:
Exemplo:
Queremos ampliar o polígono ABCDE e em seguida reduzí-lo.
Como devemos proceder?
- Marcamos
um ponto F (foco) qualquer.
- Traçamos
as retas: FA, FB, FC, FD e FE.
- Marcamos
um ponto A' sobre a reta FA, de modo que FA' = r.FA (r= razão de
semelhança).
- Marcamos um ponto B' sobre a reta FB, de modo que FB' = r.FB (mesma razão de semelhança usada para marcar o ponto A'). Procedemos da mesma maneira marcando os pontos C', D' e E'.
- Traçamos os segmentos: A'B', B'C', C'D' e E'A' e obtemos o plígono A'B'C'D'E' ampliação de ABCDE, isto por que neste caso tomamos a razão de semelhança r > 1.
Procedemos da mesma maneira para reduzirmos o polígono, tomando neste caso a razão de semelhança r < 1.
Podemos observar que sempre que escolhemos pontos quaisquer em uma figura a ser reproduzida e estipulando um foco (F) e uma razão de semelhança (r) quaisquer, podemos ampliar ou reduzir esta figura.
Assim sendo a nossa figura também pode ser CURVA !
Após a construção de algumas
figuras, poderá propor aos alunos os seguintes problemas:
Problema 1: Observe
a figura que apresenta a ampliação do polígono ABCDE, realizada com base nas
linhas convergentes a um ponto F. Suponha que F esteja 6 cm distante de B e 9
cm de B’
a a) Se
AB = 2cm, quanto mede A’B’?
b b) Os
polígonos ABCDE e A’B’C’E’ são semelhantes, e a razão de semelhança é um valor
K, tal que FA’ = K.FA. Qual é a razão de semelhanças nesse caso?
Problema 2: Considere
que o triangulo ABC, na figura original do problema anterior, seja equilátero e
suponha que AB = 2cm. Nesse caso:
a) Calcule
a área de ABC.
b) Calcule
a área de A’B’C’.
Problema 3: Desenhe
na figura um polígono A”B”C”D”E” que seja semelhante a ABCDE, com razão de
semelhança 2,0.
(Modelo
da atividade proposta)
AVALIAÇÃO: Esta tarefa será realizada
em grupos de 3 a 4 alunos, para que o trabalho seja desenvolvido de forma
colaborativa e que ninguém fique ocioso durante a aula e sim participando e
descobrindo o conteúdo apresentado. A avaliação levará em conta a participação
de cada aluno na execução de cada tarefa proposta, tentativas de resolução dos
exercícios propostos e entendimento do aluno perante os conteúdos apresentados.
RECUPERAÇÃO: A recuperação se dará de
forma continua e sempre que algum aluno ou grupo apresentar dificuldade na realização
das atividades propostas com intervenções pontuais e imediatas.
AULA EXPANDIDA
(sensibilização)
Mencionar alguns exemplos do
cotidiano onde facilmente podemos encontrar aplicações de semelhança, tais como
fotografias, fotocópias, tomografia ,maquetes (arquitetura e engenharia), etc.
Podemos perceber a semelhança em qualquer tipo de ampliação ou redução que
cometemos, como fotos, mapas, documentos. Miniaturas de carros, de bonecos ou
de qualquer objeto também podem respeitar o conceito de semelhança. Até mesmo
as maquetes podem ser consideradas semelhantes aos ambientes reais, contanto
que ambos possuam os mesmos parâmetros de formatos. As telas de televisão são
outros exemplos de semelhança, pois, mesmo com diferentes polegadas, a maioria
delas possui o mesmo formato, o que permite que transmitam a mesma imagem.
Também com a noção de semelhança, podemos entender por que os filmes que passam
nas telas dos cinemas não possuem as mesmas imagens quando são passados em uma
televisão. Isso acontece visto que as telas de cinemas não possuem o mesmo
formato das telas das televisões, ou seja, elas não são semelhantes. Além
disso, como vimos, a Semelhança de Triângulos nos permite calcular distâncias
inacessíveis. Portanto, no dia-a-dia de topógrafos, cartógrafos, geógrafos, engenheiros
etc., a semelhança é utilizada quando é preciso medir uma distância muito longa
ou com algum obstáculo. Hoje, existem até mesmo instrumentos que medem os
ângulos em situações como essas, como o teodolito.
