PLANO DE AULA

PLANO DE AULA

CONTEÚDO ESCOLHIDO PELO GRUPO: SEMELHANÇA DE POLÍGONOS

TEMA: condições de semelhança entre figuras planas

TEMPO PREVISTO:  1 semana (06 aulas)

OBJETIVO: Mostrar aos alunos do 9º ano do EF os conceitos básicos sobre semelhança entre figuras planas e suas diversas aplicações.

JUSTIFICATIVA: Ajudar o aluno a construir, desenvolver e aplicar ideias e conceitos sobre semelhança, sempre compreendendo e atribuindo significados ao conteúdo, buscando relacionar a aplicação dos conceitos à sua vida cotidiana.

            Dessa forma, ao termino da atividade, o aluno deverá ser capaz de:

·         Construir o conceito de semelhança;

·         Verificar a semelhança entrefiguras planas através da comparação de suas medidas.

COMPETÊNCIAS E HABILIDADES: A tarefa proposta visa contribuir para desenvolver nos alunos a linguagem e pensamento geométrico, bem como a capacidade de avaliar a existência ou não de semelhança entre duas figuras planas; avaliar elementos que se alteram quando figuras planas são ampliadas ou reduzidas; identificar a razão de semelhança entre duas figuras planas bem como se utilizar destes conhecimentos na  exploração e modelação de situações em contextos diversos.

RECURSOS MATERIAIS E TECNOLÓGICOS:

·         Régua e compasso;

·         Papel milimetrado;

·         Papel A4

·         Recorte e colagens de figuras diversas

·         Malha quadriculada

·         Atividades de sites da internet.

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 – SEMELHANÇA ENTRE FIGURAS PLANAS

Inicialmente o professor poderá verificar o conhecimento prévio dos alunos sobre o assunto aplicado explorando as várias formas verificadas em seu cotidiano, poderá inclusive apresentar algumas delas, como exemplo:

            Pode-se explorar também alguns sites interessantes que traz construção de figuras no concreto, textos sobre a história da geometria e suas construções lúdicas, jogos interativos como quebra cabeça, dominó de figuras reduzidas e ampliadas, enfim, até mesmo histórias em quadrinhos como a que segue:

História da Semelhança de Triângulos

     Cerca de seiscentos anos antes de Cristo, no Egito, foi que se teve a primeira aplicação da Semelhança de Triângulos. A pedido de um mensageiro do faraó, Tales de Mileto - considerado um dos sete sábios da antiguidade clássica – calculou a altura da pirâmide de Quéops. Para desenvolver tal cálculo, Tales fincou uma vara verticalmente no chão e aguardou até o momento em que a sombra e a própria vara tivessem a mesma medida. Quando o esperado ocorreu, Tales disse “Vá, mede depressa a sombra: o seu comprimento é igual à altura da pirâmide”.

 Para se obter o valor exato da altura da pirâmide, Tales deveria ainda ter pedido que se somasse metade do lado da base da pirâmide à sombra da mesma, uma vez que, tendo uma base larga, uma parte da sombra da pirâmide não estava ao chão. Tales imaginou os dois triângulos imaginários demonstrados abaixo para efetuar seu cálculo.

Desse modo:

  
     (retos)       (ângulo de inclinação dos raios solares).

     A conclusão que se chega é que os triângulos são semelhantes pelo caso AA.

      ΔABC~ΔRST

 

     Então, para achar o valor da altura da pirâmide, fez-se a seguinte proporção

    Com esse feito matemático, Tales ganhou grande apreciação em sua época e ainda hoje, pelo mesmo motivo somado a outras tantas contribuições, Tales é considerado um dos grandes nomes da matemática.

Aplicação de exercícios para verificar o conhecimento prévio dos alunos:

Problema 1: Observe as casinhas desenhadas na malha quadriculada. Desenhe ao lado, duas outras casinhas, de modo que, uma delas seja uma redução e a outra uma ampliação das casinhas dadas no exercício: 

Problema 2: Observe nos desenhos que o retângulo (III) tem o triplo da largura de (I), o retângulo (II) tem o dobro da largura de (I) e os três tem a mesma medida de altura.

(I)                    (II)                                 (III)

a) É correto afirmar que os ângulos nos três retângulos são correspondentemente congruentes? Porque?

b) Podemos dizer que uma dessas figuras é redução ou ampliação da outra? Porque?

           

Dando continuidade ao trabalho, após discutir as resoluções apresentadas pelos alunos, o professor poderá solicitar que construam figuras semelhantes, em determinada razão, utilizando régua e compasso, no processo conhecido por homotetia. Nesse caso, poderá propor que sejam desenhadas e analisadas mais de uma situação em que o centro de homotetia (ponto F) se apresenta em diferentes posições em relação às figuras:

Exemplo:

Queremos ampliar o polígono ABCDE e em seguida reduzí-lo. Como devemos proceder?

• Marcamos um ponto F (foco) qualquer.
• Traçamos as retas: FA, FB, FC, FD e FE.

• Marcamos um ponto A' sobre a reta FA, de modo que FA' = r.FA (r= razão de semelhança).
• Marcamos um ponto B' sobre a reta FB, de modo que FB' = r.FB (mesma razão de semelhança usada para marcar o ponto A'). Procedemos da mesma maneira marcando os pontos C', D' e E'.

• Traçamos os segmentos: A'B', B'C', C'D' e E'A' e obtemos o plígono A'B'C'D'E' ampliação de ABCDE, isto por que neste caso tomamos a razão de semelhança r > 1. 

Procedemos da mesma maneira para reduzirmos o polígono, tomando neste caso a razão de semelhança r < 1.

Podemos observar que sempre que escolhemos pontos quaisquer em uma figura a ser reproduzida e estipulando um foco (F) e uma razão de semelhança (r) quaisquer, podemos ampliar ou reduzir esta figura.

Assim sendo a nossa figura também pode ser CURVA !

               Após a construção de algumas figuras, poderá propor aos alunos os seguintes problemas:

Problema 1: Observe a figura que apresenta a ampliação do polígono ABCDE, realizada com base nas linhas convergentes a um ponto F. Suponha que F esteja 6 cm distante de B e 9 cm de B^’

a a)    Se AB = 2cm, quanto mede A’B’?

b b)    Os polígonos ABCDE e A’B’C’E’ são semelhantes, e a razão de semelhança é um valor K, tal que FA’ = K.FA. Qual é a razão de semelhanças nesse caso?

Problema 2: Considere que o triangulo ABC, na figura original do problema anterior, seja equilátero e suponha que AB = 2cm. Nesse caso:

a)  Calcule a área de ABC.

b)    Calcule a área de A’B’C’.

Problema 3: Desenhe na figura um polígono A”B”C”D”E” que seja semelhante a ABCDE, com razão de semelhança 2,0. 

(Modelo da atividade proposta)

AVALIAÇÃO: Esta tarefa será realizada em grupos de 3 a 4 alunos, para que o trabalho seja desenvolvido de forma colaborativa e que ninguém fique ocioso durante a aula e sim participando e descobrindo o conteúdo apresentado. A avaliação levará em conta a participação de cada aluno na execução de cada tarefa proposta, tentativas de resolução dos exercícios propostos e entendimento do aluno perante os conteúdos apresentados.

RECUPERAÇÃO: A recuperação se dará de forma continua e sempre que algum aluno ou grupo apresentar dificuldade na realização das atividades propostas com intervenções pontuais e imediatas. 

AULA EXPANDIDA (sensibilização)

            Mencionar alguns exemplos do cotidiano onde facilmente podemos encontrar aplicações de semelhança, tais como fotografias, fotocópias, tomografia ,maquetes (arquitetura e engenharia), etc.

            Podemos perceber a semelhança em qualquer tipo de ampliação ou redução que cometemos, como fotos, mapas, documentos. Miniaturas de carros, de bonecos ou de qualquer objeto também podem respeitar o conceito de semelhança. Até mesmo as maquetes podem ser consideradas semelhantes aos ambientes reais, contanto que ambos possuam os mesmos parâmetros de formatos. As telas de televisão são outros exemplos de semelhança, pois, mesmo com diferentes polegadas, a maioria delas possui o mesmo formato, o que permite que transmitam a mesma imagem. Também com a noção de semelhança, podemos entender por que os filmes que passam nas telas dos cinemas não possuem as mesmas imagens quando são passados em uma televisão. Isso acontece visto que as telas de cinemas não possuem o mesmo formato das telas das televisões, ou seja, elas não são semelhantes. Além disso, como vimos, a Semelhança de Triângulos nos permite calcular distâncias inacessíveis. Portanto, no dia-a-dia de topógrafos, cartógrafos, geógrafos, engenheiros etc., a semelhança é utilizada quando é preciso medir uma distância muito longa ou com algum obstáculo. Hoje, existem até mesmo instrumentos que medem os ângulos em situações como essas, como o teodolito.